Question

德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=

1，x∈Q 0，x∈∁RQ

被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数有如下四个命题：
①f（f（x））=0；
②函数f（x）是偶函数；
③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x∈R恒成立；
④存在三个点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），使得△ABC为等边三角形．
其中的真命题是（　　）

• A、①②④
• B、②③
• C、③④
• D、②③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①，根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，从而可判断①；
②，根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数，可判断②；
③，根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，得f（x+T）=f（x），可判断③；
对于④，取x₁=-

3

3

，x₂=0，x₃=

3

3

，可得A（-

3

3

，0）、B（0，1）、C（

3

3

，0）三点恰好构成等边三角形，可判断④．

解答： 解：对于①，∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0，
∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，
即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①错误；
对于②，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
所以对任意x∈R，都有f（-x）=f（x），故②正确；
对于③，若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数，
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；
对于④，取x₁=-

3

3

，x₂=0，x₃=

3

3

，可得A（-

3

3

，0）、B（0，1）、C（

3

3

，0）三点恰好构成等边三角形，故④正确．
综上所述，真命题是②③④，
故选：D．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查狄利克雷函数表达式的理解与应用，考查函数的奇偶性、周期性，考查分析、探究能力，属于难题．