Question

设x，y∈R⁺，且xy-（x+y）=1，则（　　）

• A．x+y≥2

  2

  +2
• B．xy≤

  2

  +1
• C．x+y≤（

  2

  +1）²
• D．xy≥2

  2

  +2

Answer 1

分析：先根据均值不等式可知xy≤

(x+y)2

4

，代入xy=1+x+y中，转化为关于x+y的一元二次不等式，进而求得x+y的最小值，同理求得xy的最小值，即可得到答案．

解答：解：∵x，y∈R+，
∴xy≤

(x+y)2

4

（当且仅当x=y时成立）．
∵xy=1+x+y，
∴1+x+y≤

(x+y)2

4

，解得x+y≥2+2

2

或x+y≤2-2

2

（舍），A符合题意，可排除C；
同理，由xy=1+x+y，得xy-1=x+y≥2

xy

（当且仅当x=y时成立），
解得

xy

≥1+

2

或

xy

≤1-

2

（舍），即xy≥3+2

2

从而排除B，D．
故选A．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．利用基本不等式和整体思想转化为一元二次不等式，再由一元二不等式的解法进行求解，有较强的综合性．