Question

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F且倾斜角为60°的直线l交抛物线于A、B两点，若|AF|=3，则此抛物线方程为（　　）

• A．y²=3x
• B．y²=6x
• C．y2=

  3

  2

  x
• D．y²=2x

Answer 1

分析：先根据抛物线定义以及有一个角是60°的直角三角形的性质，证明|AF|=3|BF|，再根据|AF|=3，求出|AB|长，设出直线AB方程，与抛物线方程联立，利用抛物线中焦点弦公式，把|AB|长用含p的式子表示，由|AB|=4，解出p值．

解答：解：过点A，B向准线x=-

p

2

作垂线，垂足分别为C，D，过B点向AC作垂线，垂足为E
∵A，B两点在抛物线y=2px上，∴|AC|=|AF|，|BD|=|BF|
∵BE⊥AC，∴|AE|=|AF|-|BF|，
∵直线AB的倾斜角为60°，∴在Rt△ABE中，2|AE|=|AB|=|AF|+|BF|
即2（|AF|-|BF）=|AF|+|BF|，∴|AF|=3|BF|
∵|AF|=3，∴|BF|=1，∴|AB|=|AF|+|BF|=4
设直线AB方程为y=

3

（x-

p

2

），代入y²=2px，得，
3x²-5px+

p2

4

=0，
∴x₁+x₂=

5p

3

∴|AB|=x₁+x₂+

P

2

=

5p

3

+

P

2

=4
∴P=

3

2

，∴抛物线方程为y²=3x
故选A

点评：本题主要考察了应用抛物线定义求弦长，做题时要善于转化．