Question

如图，已知直线

l

1

：y=2x+m(m＜0)与抛物线C1：y=ax2(a＞0)和圆C2：x2+(y+1)2=5都相切，F是C₁的焦点．
（1）求m与a的值；
（2）设A是C₁上的一动点，以A为切点作抛物线C₁的切线l，直线l交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上．

Answer 1

分析：（1）利用直线与圆相切，可得圆心到直线l₁：y=2x+m的距离等于半径，从而可求m的值；设l₁与抛物线的相切点为A₀（x₀，y₀），求得切点坐标，代入直线方程，即可求得a的值；
（2）设A(x1，

1

6

x12)，由（1）知以A为切线l的方程为y=

1

3

x1(x-x1)+

1

6

x12，从而可得切线l交y轴的B点坐标，利用四边形FAMB是以FA，FB为邻边的平行四边形，可得

FM

=

FA

+

FB

，由此可证结论．

解答：（1）解：由已知，圆C2：x2+(y+1)2=5的圆心（0，-1），
圆心到直线l₁：y=2x+m的距离d=

|1+m|

22+1

=

5

，解得m=-6（m=4舍去），…（3分）
设l₁与抛物线的相切点为A₀（x₀，y₀），得2ax₀=2，∴x0=

1

a

，y0=

1

a

，
代入直线方程得：

1

a

=

2

a

-6，∴a=

1

6

，
所以m=-6，a=

1

6

…（6分）
（2）证明：由（1）知抛物线C₁方程为y=

1

6

x2，焦点F(0，

3

2

)，
设A(x1，

1

6

x12)，由（1）知以A为切线l的方程为y=

1

3

x1(x-x1)+

1

6

x12，…（8分）
令x=0，得切线l交y轴的B点坐标为（0，-

1

6

x12），
所以

FA

=（x₁，

1

6

x

2 1

-

3

2

），

FB

=（0，-

1

6

x

2 1

-

3

2

），…（10分）
∵四边形FAMB是以FA，FB为邻边的平行四边形，
∴

FM

=

FA

+

FB

=（x₁，-3）…（13分）
因为F是定点F(0，

3

2

)，所以点M在定直线y=-

3

2

上．     …（15分）

点评：本题考查直线与圆，直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是确定切线方程，属于中档题．