Question

已知函数f（x）=ln（e^x+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数
（1）求k的值
（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数，且g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围
（3）讨论关于x的方程的根的个数．

Answer 1

解：（1）因为函数f（x）=ln（e^x+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数，
所以f（-0）=-f（0）即f（0）=0，
则ln（e⁰+k）=0解得k=0，
显然k=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；
（2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g'（x）=λ+cosx，
因为g（x） 在[-1，1]上单调递减，∴g'（x）=λ+cosx≤0 在[-1，1]上恒成立，
∴λ≤-1，g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1，
只需-λ-sin1≤t²+λt+1（λ≤-1），
∴（t+1）λ+t²+sin1+1≥0（λ≤-1）恒成立，
令h（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1（λ≤-1）
则解得t≤-1
（3）由（1）得f（x）=x
∴方程转化为=x²-2ex+m，令F（x）=（x＞0），G（x）=x²-2ex+m （x＞0），（8分）
∵F'（x）=，令F'（x）=0，即=0，得x=e
当x∈（0，e）时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上为增函数；
当x∈（e，+∞）时，F'（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上为减函数；（9分）
当x=e时，F（x）_max=F（e）=（10分）
而G（x）=（x-e）²+m-e² （x＞0）
∴G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数；（11分）
当x=e时，G（x）_min=m-e²（12分）
∴当m-，即m＞时，方程无解；
当m-，即m=时，方程有一个根；
当m-，即m＜时，方程有两个根；（14分）
分析：（1）因为定义域是实数集R，直接利用奇函数定义域内有0，则f（-0）=-f（0）即f（0）=0，即可求k的值；
（2）先利用函数g（x）的导函数g'（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立，求出λ的取值范围以及得到g（x）的最大值g（-1）=-1-sin1；然后把g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立转化为-λ-sin1≤t²+λt+1（λ≤-1），整理得（t+1）λ+t²+sin1+1≥0（λ≤-1）恒成立，再利用一次函数的思想方法求解即可．
（3）先把方程转化为=x²-2ex+m，令F（x）=（x＞0），G（x）=x²-2ex+m （x＞0），再利用导函数分别求出两个函数的单调区间，进而得到两个函数的最值，比较其最值即可得出结论．
点评：本题主要考查函数奇偶性的性质，函数恒成立问题以及导数在最大值、最小值问题中的应用，是对知识的综合考查，属于难题．
在涉及到奇函数定义域内有0时，一般利用结论f（0）=0来作题．