Question

【题目】已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[0，3]上有最大值5和最小值1．设f（x）= ．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式f（x）﹣k≥0在x∈[1，4]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b=a（x﹣1）2+b﹣a+1，

∵a＞0，开口向上，对称轴x=1，

∴f（x）在[0，1]递减，在[1，3]上递增，

∴f（x）min=f（1）=a﹣2a+1+b=1，f（x）max=f（3）=9a﹣6a+1+b=5，

∴a=b=1；

（2）解：∵f（x）= = =x+ ﹣2≥2 =2 ﹣2，当且仅当x= ∈[1，4]时取等号，

又不等式f（x）﹣k≥0在x∈[1，4]上恒成立，

∴k≤f（x），在x∈[1，4]上恒成立，

∴k≤2 ﹣2，

故k的取值范围为（﹣∞，2 ﹣2]．

【解析】1、本题考查的是二次函数在指定区间上的最值问题。对称轴不在指定的区间上，需要根据单调求得最值；
2、本题考查的是重要不等式的应用。

【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．