Question

设M=10a²+81a+207，P=a+2，Q=26-2a；若将lgM，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列{a_n}的前三项．
（1）试比较M、P、Q的大小；
（2）求a的值及{a_n}的通项；
（3）记函数f（x）=a_nx²+2a_n+1x+a_n+2（n∈N*）的图象在x轴上截得的线段长为b_n，设T_n=

1

4

(b1b2+b2b3+…+bn-1bn）（n≥2），求T_n，并证明T₂T₃T₄…T_n＞

2n-1

n

．

Answer 1

分析：（1）由M＞0，P＞0，Q＞0可求得a的范围，作差后通过分类讨论可比较它们间的大小关系；
（2）由（1）的结论及lgM，lgQ，lgP成公差为1的等差数列可得a值，根据等差数列的通项公式可得a_n；
（3）设f（x）与x轴交点为（x₁，0），（x₂，0），由2a_n+1=a_n+a_n+2，知-1为f（x）的一个零点，从而f（x）=（x+1）（a_nx+a_n+2）=0，可得x₁，x₂，进而可得b_n，利用裂项相消法可得T_n，由Tn=

n-1

(1-2lg2)(n-2lg2)

＞

n-1

1 2 n

=

2(n-1)

n

，可对T₂T₃T₄…T_n进行放缩得到结论；

解答：解：（1）由

M=10a2+81a+207＞0 P=a+2＞0 Q=26-2a＞0

，得-2＜a＜13，
∵M-Q=10a²+83a+181＞0（∵△₁＜0），M-P=10a²+80a+205＞0（∵△₂＜0），∴M＞Q，M＞P，
又∵当-2＜a＜13时，P-Q=-24+3a，
则当-2＜a＜8时，P＜Q，此时P＜Q＜M，
当a=8时，P=Q，此时P=Q＜M，
当8＜a＜13时，P＞Q，此时Q＜P＜M；
（2）由（1）知，当-2＜a＜8时，

lgP+1=lgQ lgM=1+lgQ

即

10P=Q M=10Q

，∴

26-2a=10(a+2) 10a2+81a+207=10(26-2a)

，
解得a=

1

2

，从而a_n=lgP+（n-1）×1=n-2lg2；
当8＜a＜13时，

lgQ+1=lgP lgM=1+lgP

即

P=10Q M=10P

，∴

a+2=10(26-2a) 10a2+81a+207=10(a+2)

，a无解．
综上，a=

1

2

，a_n=n-2lg2；
（3）设f（x）与x轴交点为（x₁，0），（x₂，0），
∵2a_n+1=a_n+a_n+2，∴-1为f（x）的一个零点，
∴当f（x）=0时有（x+1）（a_nx+a_n+2）=0，∴x1=-1， x2=-

an+2

an

=-

an+2

an

，
∴bn=|x1-x2|=|-1+

an+2

an

|=

2

|an|

，
又∵a_n=n-2lg2＞0，∴bn=

2

an

，
∴bn-1bn=

2

an-1

×

2

an

=4(

1

an-1

-

1

an

)，
∴Tn=

1

4

×4[(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an-1

-

1

an

)]=

1

a1

-

1

an

=

1

1-2lg2

-

1

n-2lg2

=

n-1

(1-2lg2)(n-2lg2)

，
又Tn=

n-1

(1-2lg2)(n-2lg2)

＞

n-1

1 2 n

=

2(n-1)

n

，
∴T2T3T4…Tn＞

2

2

•

2•2

3

•

2•3

4

•

2•4

5

…

2(n-1)

n

=

2n-1

n

．

点评：本题考查数列与不等式的综合、等差数列的通项公式，考查不等式的证明，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，综合性强，运算量大．