Question

已知函数f(x)=ab^x的图象过点A(4,)和B(5,1).

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)记a_n=log₂f(n),n是正整数,S_n是数列{a_n}的前n项和,解关于n的不等式a_nS_n≤0;

(3)对于(2)中的a_n与S_n,整数10⁴是否为数列{a_nS_n}中的项?若是,则求出相应的项数;若不是,请说明理由.

Answer 1

分析:(1)把点A、B的坐标代入f(x)=a·b^x即可确定a、b的值.

(2)先判断{a_n}的类型,确定求S_n的方法.

(3)判断10⁴是否为{a_nS_n}中的项,一般看a_nS_n=10⁴有无正整数解,但此题出现三次方程,不易求解,故此法不行.观察a_nS_n=2n(n-5)(n-9)的特点,可知n≤4时较小,5≤n≤9时,a_nS_n≤0,n≥10时,a_nS_n是关于n的增函数,可估算接近10⁴的值.

解:(1)由得

∴f(x)=·4^x.

(2)由题意a_n=log₂(·4ⁿ)=2n-10,

S_n=(a₁+a_n)=n(n-9),

a_nS_n=2n(n-5)(n-9).

    由a_nS_n≤0,得5≤n≤9,

    故n=5,6,7,8,9.

(3)a₁S₁=64,a₂S₂=84,a₃S₃=72,a₄S₄=40,

    当5≤n≤9时,a_nS_n≤0,

    当10≤n≤22时,a_nS_n≤a₂₂S₂₂=9 724＜10⁴;

    当n≥23时,a_nS_n≥a₂₃S₂₃=11 592＞10⁴.

∴10⁴不是{a_nS_n}中的项.