Question

已知四棱锥P-ABCD中，点M是PC的中点，点E是AB上的一个动点，且该四棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是直角三角形．
（I）求证：PA∥平面BDM；
（II）若点E是AB的中点，求证：CE⊥平面PDE；
（III）无论点E在何位置，是否均有三棱锥C-PDE的体积为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）连接AC，交BD于点O，连接OM，PE，由三视图可知，四边形ABCD为矩形，可证MO∥PA，根据线面平行的判定定理可证
（II）由三视图可知，PD⊥平面ABCD，AD=PD=1，AB=2，PD⊥CE，则△ADE与△BCE都是等腰直角三角形即∠AED+∠BEC=90°，则CE⊥DE，根据线面垂直的判定定理可证
III）V_P-CDE=V_C-PDE=

1

3

×PD×S△CDE，即可

解答：证明：（I）连接AC，交BD于点O，连接OM，PE
由三视图可知，四边形ABCD为矩形
∴O是AC的中点
又∵M是PC的中点
在PAC中，则MO∥PA（2分）
由MO?平面BDM，PA?面BDM（3分）
∴PA∥面BDM（4分）
（II）由三视图可知，PD⊥平面ABCD，AD=PD=1，AB=2
∵CE?面ABCD，
∴PD⊥CE（6分）
∵E为AB的中点
∴△ADE与△BCE都是等腰直角三角形
∴∠AED+∠BEC=90°
∴CE⊥DE（8分）
∵PD∩DE=D
∴CE⊥面PDE（9分）
III）V_P-CDE=V_C-PDE=

1

3

×PD×S△CDE
∵无论点E在任何位置，△CDE的面积均为定值
即S△CDE=

1

2

•CD•AD=

1

2

×2×1=1（10分）
∴V_C-PDE=

1

3

×1×1=

1

3

（12分）

点评：本题主要考查了线面平行与线面垂直的判定定理的应用，注意线线关系与线面关系的相互转化，及利用换定点求解三棱锥的体积．