Question

【题目】一平面上有32个点，其中无三点共线．证明：在这32个点中至少能找到2135个四点组，形成凸四边形的四个顶点．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

设．

因为个点中无三点共线，所以，个点中以任意三点为顶点可作个三角形，

其中，面积最大者设为．

过点、、分别作对边的平行线，相交得．

由于面积最大，故其余个点在内．

又过其中任意两点、的直线至多与的两条边相交，不妨设直线与边不相交．则、、、是凸四边形的四个顶点．

因此，个点中任意两点与点、、中某两点可连出一个凸四边形．

所以，至少有个四点组为凸四边形的四个顶点，其中，、为、、中两点，直线与边不相交．

再考虑点和上述个点的集合，知至少有个满足条件的四点组．

继续讨论下去，知个点中满足条件的四点组至少有

．

将代入得．