Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，E为棱PC上异于C的一点，DE⊥BE．
（1）证明：E为PC的中点；
（2）求二面角P-DE-A的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知中四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，，∠BCD=90°，E为棱PC上异于C的一点，DE⊥BE，我们易得到BC⊥DE，根据等腰三角形三线合一的性质，即可得到E为PC的中点；
（2）设二面角P-DE-A的大小为θ，则sinθ=

d

PE

（其中d为P到平面ADE的距离），利用等体积法求出d值后，即可得到二面角P-DE-A的大小．

解答：证明：（1）∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC
∵∠BCD=90°，即BC⊥CD，PD∩CD=D
∴BC⊥平面PCD
∵DE?平面PCD
∴BC⊥DE
又由PD=DC=1，
∴E为PC的中点；
解：（2）∵DE=

2

2

，AD=

2

，AE=

14

2

，由余弦定理可得：
∠ADE=

2π

3

故S_△ADE=

1

2

•AD•DE•sin∠ADE=

3

4

设P点到平面ADE的距离为d
则V_P-AED=V_A-PDE=

1

4

则d=

3

3

又∵PE⊥DE，设二面角P-DE-A的大小为θ，则sinθ=

d

PE

=

6

3

故二面角P-DE-A的大小为arcsin

6

3

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及其求法，直线与平面垂直的性质，其中（1）的关键是根据线面垂直的性质得到线线垂直，（2）的关键是根据sinθ=

d

PE

（其中d为P到平面ADE的距离）计算二面角P-DE-A的正弦值．