Question

已知函数f₁（x）=e^|x-2a+1|，f₂（x）=e^|x-a|+1，x∈R．
（1）若a=2，求f（x）=f₁（x）+f₂（x）在x∈[2，3]上的最小值；
（2）若|f₁（x）-f₂（x）|=f₂（x）-f₁（x）对于任意的实数x∈R恒成立，求a的取值范围；
（3）当4≤a≤6时，求函数g（x）=在x∈[1，6]上的最小值．

Answer 1

解：（1）对于a=2，x∈[2，3]，f（x）=e^|x-3|+e^|x-2|+1=e^3-x+e^x-1（3分）
≥2=2e，
当且仅当e^3-x=e^x-1，即x=2时等号成立，∴f（x）_min=2e．（6分）
（2）|f₁（x）-f₂（x）|=f₂（x）-f₁（x）对于任意的实数x恒成立，
即f₁（x）≤f₂（x）对于任意的实数x恒成立，亦即e^|x-2a+1|≤e^|x-a|+1对于任意的实数x恒成立，
∴|x-2a+1|≤|x-a|+1，即|x-2a+1|-|x-a|≤1对于任意的实数x恒成立．（9分）
又|x-2a+1|-|x-a|≤|（x-2a+1）-（x-a）|=|-a+1|对于任意的实数x恒成立，故只需
|-a+1|≤1，解得0≤a≤2，∴a的取值范围为0≤a≤2．（12分）
（3）g（x）==（13分）
∵f₁（x）与f₂（x）的底数都同为e，外函数都单调递增
∴比较f₁（x）与f₂（x）的大小关系，只须比较|x-2a+1|与|x-a|+1的大小关系
令F₁（x）=|x-2a+1|，F₂（x）=|x-a|+1，
G（x）=其中4≤a≤6，x∈[1，6]（14分）
∵4≤a≤6∴2a-1≥a≥1，令2a-1-x=1，得x=2a-2，由题意可以如下图象：
（15分）
当4≤a≤6时，a≤6≤2a-2，G（x）_min=F₂（a）=1，g（x）_min=e¹=e；（18分）
分析：（1）对于a=2，x∈[2，3]，去掉绝对值得f（x）=e^3-x+e^x-1（3分），利用基本不等式积为定值，和有最小值即可求出函数的最小值，注意等号成立的条件；
（2）根据条件可知f₁（x）≤f₂（x）对于任意的实数x恒成立，转化成|x-2a+1|-|x-a|≤1对于任意的实数x恒成立，然后利用绝对值不等式进行求解即可求出参数a的范围；
（3）f₁（x）与f₂（x）的底数都同为e，外函数都单调递增，比较f₁（x）与f₂（x）的大小关系，只须比较|x-2a+1|与|x-a|+1的大小关系，则令F₁（x）=|x-2a+1|，F₂（x）=|x-a|+1，则G（x）=其中4≤a≤6，x∈[1，6]，结合图形可知当4≤a≤6时G（x）_min=F₂（a）=1，g（x）_min=e¹=e．
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及函数的最值及其几何意义和恒成立问题等有关知识，解决本题的关键是等价转化，以及数形结合，分类讨论的思想，难点是绝对值如何去．