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对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导数,f''是f'(x)的导数,若方程f''(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若数学公式,请你根据这一发现,求:
(1)函数数学公式对称中心为________;
(2)计算数学公式=________.

解:(1)依题意,得:f′(x)=x2-x+3,∴f″(x)=2x-1.
由f″(x)=0,即2x-1=0.
∴x=
又 f()=1,
∴函数的对称中心为(,1);
(2)由(1)知,若(a,b)与(c,d)为f(x)图象上的点,且关于点(,1)对称,则有a+c=1,且f(a)+f(c)=2,
设S=
又S=f()+f()+f()+f()+…+f(),
所以2S=[f()+f()]+…+[f()+f()]=2×2010,
所以S=2010,即=2010.
故答案为:(1)(,1);(2)2010.
分析:(1)先求f′(x)得解析式,再求f″(x),由f″(x)=0 求得拐点的横坐标,代入函数解析式求拐点的纵坐标.
(2)由(1)知,若(a,b)与(c,d)为f(x)图象上的点,且关于点(,1)对称,则有a+c=1,且f(a)+f(c)=2,根据该结论即可求得答案;
点评:本题考查一阶导数、二阶导数的求法,函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).
定义:(1)设f″(x)是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”;
定义:(2)设x0为常数,若定义在R上的函数y=f(x)对于定义域内的一切实数x,都有f(x0+x)+f(x0-x)=2f(x0)成立,则函数y=f(x)的图象关于点(x0,f(x0))对称.
己知f(x)=x3-3x2+2x+2,请回答下列问题:
(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标
 

(2)检验函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称,对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•昌平区二模)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是函数f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
,请你根据上面探究结果,解答以下问题
(1)函数f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
的对称中心为
1
2
,1)
1
2
,1)

(2)计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)
+…+f(
2012
2013
)=
2012
2012

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•房山区二模)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.若f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+
1
6
x+1
,则该函数的对称中心为
(
1
2
,1)
(
1
2
,1)
,计算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)+…+f(
2012
2013
)
=
2012
2012

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对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义:设f''(x)是函数y=f(x)的导数f′(x)的导数,若方程f''(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心”,且‘拐点’就是对称中心.请你将这一发现作为条件.
(1).函数f(x)=x3-3x2+3x的对称中心为
(1,2)
(1,2)

(2).若函数g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
+
1
x-
1
2
,则g(
1
2013
)+g(
2
2013
)+g(
3
2013
)+…+g(
2012
2013
)
=
2012
2012

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•安庆三模)对于三次函数f(x)-ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设ft(x)是函数y=f(x)的导数,ftt(x)是函数ft的导数,若方程ftt(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个一元三次函数都有“拐点”;且该“拐点”也为该函数的对称中心.若f(x)=x3-
3
2
x2+
1
2
x+1,则f(
1
2014
)+f(
2
2014
)+…+f(
2013
2014
)=(  )

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