Question

5．已知z是纯虚数，且（2+i）z=1+ai³（i是虚数单位，a∈R），则|a+z|=（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由（2+i）z=1+ai³，得$z=\frac{1+a{i}^{3}}{2+i}$，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，根据已知条件列出方程组，求解得到a的值，再求出z的值，由复数求模公式计算得答案．

解答 解：由（2+i）z=1+ai³，
得$z=\frac{1+a{i}^{3}}{2+i}$=$\frac{（1-ai）（2-i）}{（2+i）（2-i）}=\frac{（2-a）-（1+2a）i}{5}$=$\frac{2-a}{5}-\frac{1+2a}{5}i$，
又∵z是纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2-a}{5}=0}\\{-\frac{1+2a}{5}≠0}\end{array}\right.$，
解得a=2．
∴z=-i．
则|a+z|=$|2-i|=\sqrt{{2}^{2}+1}=\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．