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已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
分析:(1)由ax-1>0,得ax>1 下面分类讨论:当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0即可求得f(x)的定义域;
(2)先对a值进行分类讨论:当a>1时,当0<a<1时,再任取x1、x2属于集合范围之内,结合函数的单调性的定义讨论函数f(x)的单调性.
解答:解:(1)由ax-1>0,得ax>1.(1分)
当a>1时,x>0;(2分)
当0<a<1时,x<0.(3分)
所以f(x)的定义域是当a>1时,x∈(0,+∞);当0<a<1时,x∈(-∞,0).(4分)
(2)当a>1时,任取x1、x2∈(0,+∞),且x1<x2,(5分)
ax1ax2,所以ax1-1<ax2-1.(6分)
因为a>1,所以loga(ax1-1)<loga(ax2-1),即f(x1)<f(x2).(8分)
故当a>1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数.(9分)
当0<a<1时,任取x1、x2∈(-∞,0),且x1<x2,(10分)
ax1ax2,所以ax1-1>ax2-1.(11分)
因为0<a<1,所以loga(ax1-1)<loga(ax2-1),即f(x1)<f(x2).(13分)
故当0<a<1时,f(x)在(-∞,0)上也是增函数.(14分)
点评:本小题主要考查函数单调性的应用、对数函数的定义域、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力与转化思想.属于基础题.
练习册系列答案
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2
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1
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3
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6
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6
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