Question

给定四条曲线：①x2+y2=

5

2

，②

x2

9

+

y2

4

=1，③x2+

y2

4

=1，④

x2

4

+y2=1，其中与直线x+y-

5

=0仅有一个交点的曲线是（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、①②④
• D、①③④

Answer 1

分析：判断直线和圆的位置关系时，只要比较圆心到这条直线的距离d与半径r的大小即可．当d＜r时，直线和圆相交，有两个交点；当d=r时，直线和圆相切，有一个交点；当d＞r时，直线和圆想离，无交点；判断直线和椭圆的交点个数时，联立直线方程和椭圆方程，整理，由△的符号即可判断出其交点个数．当△＞0时，有两个交点；当△=0时，有一个交点；当△＜0时，无交点，据此计算可得答案．

解答：解：①中，圆心（0，0）到直线x+y-

5

=0的距离为

5

2

等于半径，故满足题意．
②中，联立方程

x2 9 + y2 4 =1 x+y- 5 =0

，整理得，13x2-18

5

x+9=0．△≠0，故不满足题意．
③中，联立方程

x2+ y2 4 =1 x+y- 5 =0

．整理得，5x2-2

5

x+1=0．△=0，故满足题意．
④中，联立方程

x2 4 +y2=1 x+y- 5 =0

，整理得，5x2-8

5

x+16=0，△=0．故满足题意．
故本题中①③④满足，答案为D．

点评：在判定直线和圆锥曲线的交点个数时，可联立方程组，由方程组的解的个数从而确定交点的个数．对于判断圆和直线的位置关系时，除此之外，还可以用更为简单的几何方法，用圆心到直线的距离与半径作比较．