Question

设二次函数y=f（x） 的图象的顶点坐标为（1，1），且f（-1）=3．
（1）求f（x） 的解析式；
（2）设区间A=[1，m]，若x∈A时，恒有f（x）∈A，求m 的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知二次函数的顶点坐标为（1，4），设抛物线的顶点式为y=a（x-1）²+4，将点（-2，-5）代入求a即可．
（2）由（1）知，f(x)=

1

2

(x-1)2+1 在[1，m]上是单调增函数，利用二次函数的音调性得出m 的取值范围即可．

解答：解：（1）由题意，设f（x）=a（x-1）²+1（a≠0），…（3分）
由（-1）=a（-1-1）²+1=3，解得a=

1

2

，…（6分）
∴f(x)=

1

2

(x-1)2+1．    …（7分）
（2）由（1）知，f(x)=

1

2

(x-1)2+1 在[1，m]上是单调增函数，
∴当x∈A时，f（x）_min=f（1）=1，f(x)max=f(m)=

1

2

(m-1)2+1．…（9分）
若x∈A时，恒有f（x）∈A，则f(m)=

1

2

(m-1)2+1≤m，…（11分）
∴m²-4m+3≤0，解得1≤m≤3 …（13分）
又m＞1，∴m 的取值范围是（1，3]．            …（14分）

点评：本题考查了用顶点式求抛物线解析式的一般方法、二次函数在闭区间上的最值，必须熟练掌握抛物线解析式的几种形式．