Question

9．已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）
（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分
（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；
（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；
（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a^x一定是Ω函数．

Answer 1

分析 （I）①利用Ω对于即可判断出函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=-1，对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．
（II）（i）函数f（x）是Ω函数，可得存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（-x+T）=f（-x）．又f（x）是偶函数，可得Tf（-x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（-x+T），通过换元进而得出：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．
（ii）同（i）可以证明．
（III）当a＞1时，假设函数f（x）=a^x是Ω函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），可得Ta^x+T=a^x，化为：Ta^T=1，即a^T=$\frac{1}{T}$，此方程有非0 的实数根，即可证明．

解答 解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．
②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=-1，则sin（πx-π）=-sin（π-πx）=-sinπx．即-sin（π（x-1））=sinπx．
∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．
（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（-x+T）=f（-x）．
又f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），∴Tf（-x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（-x+T），
令x-T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（-t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．
（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（-x+T）=f（-x）．
又f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴-Tf（x+T）=Tf（-x+T），T≠0，化为：-f（x+T）=f（-x+T），
令x-T=t，则x=T+t，∴-f（2T+t）=f（-t）=-f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．
（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=a^x是Ω函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），
∴Ta^x+T=a^x，化为：Ta^Ta^x=a^x，∵a^x＞0，∴Ta^T=1，即a^T=$\frac{1}{T}$，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，
∴当a＞1时，函数f（x）=a^x一定是Ω函数．

点评 本题考查了新定义、函数的奇偶性周期性、方程思想方法、换元方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．