Question

已知二次函数f（x）满足f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）＞a在x∈[-1，2]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求当x∈[0，a]（a＞0）时f（x）的最大值g（a）．

Answer 1

解：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
∵f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x
∴a（x+1）²+b（x+1）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c=2x²-4x
∴2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x

∴f（x）=x²-2x-1（ 5分）
（2）∵f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2在x∈[-1，2]上的最小值为f（1）=-2（ 8分）
∵f（x）＞a在x∈[-1，2]上恒成立
∴a＜-2（ 10 分 ）
（3））∵f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2的对称轴x=1
①当0＜a≤2时，根据二次函数的性质可得，f（x）_max=f（2）=-1
②a＞2时，根据二次函数的性质可得，f（x）_max=f（a）=a²-2a-1
综上可得，g（a）=（16分）
分析：（1）可设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）然后求出f（x+1），f（x-1）再代入条件f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x中可得方程两边对应系数相等即可求出a，b，c的值从而求出二次函数f（x）的解析式．
（2）由f（x）＞a在x∈[-1，2]上恒成立，则只要a＜f（x）_min，可求
（3））f（x）=x²-2x-1=（x-1）²-2的对称轴x=1，需要讨论区间端点0，a与对称轴远近，①当0＜a≤2时，f（x）_max=f（2）=-1②a＞2时，f（x）_max=f（a）=a²-2a-1
点评：本题主要考察利用待定系数法求解二次函数解析式．解题的关键是会设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的解析式，二次函数在闭区间上的最值的求解．