Question

【题目】设f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（﹣1）=0，则xf（x）＜0的解集是（ ）
A.（﹣1，1）
B.（1，+∞）
C.（﹣1，0）∪（1，+∞）
D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x）是偶函数，∴f（1）=f（﹣1）=0；
又∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴当0＜x＜1时，f（x）＞0，当x＞1时，f（x）＜0；
∴不等式xf（x）＜0在（0，+∞）上的解集是（1，+∞）；
又f（x）是偶函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，
当﹣1＜x＜0时，f（x）＞0，当x＜﹣1时，f（x）＜0；
不等式xf（x）＜0在（﹣∞，0）上的解集是（﹣1，0）；
综上，xf（x）＜0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）；
故选：C．
【考点精析】掌握函数奇偶性的性质是解答本题的根本，需要知道在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．