Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点．
（1）求直线BE和直线CD所成角的余弦值；
（2）在棱C₁D₁上是否存在一点F，使B₁F∥平面A₁BE？证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）根据异面直线所成角的定义，∠ABE为异面直线所成的角，再通过解三角形ABE可求．
（II）设AB₁∩A₁B=O，取C₁D₁中点F，连接OE、EB、B₁F．根据三角形中位线定理，得EF∥C₁D且EF=

1

2

C₁D，平行四边形AB₁C₁D中，有B₁O∥C₁D且B₁O=

1

2

C₁D，从而得到EF∥B₁O且EF=B₁O，四边形B₁OEF为平行四边形，B₁F∥OE，所以B₁F∥平面A₁BE，即存在C₁D₁中点F，使B₁F∥平面A₁BE．

解答：解：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于AB∥CD，
故∠ABE（或其补角）即为直线BE和直线CD所成角．
设正方体的棱长为1，则由E是棱DD₁的中点，可得AB=1，BE=

BD2+DE2

=

3

2

，
在Rt△ABE中，由余弦定理求得cos∠ABE=

AB

AE

=

2

3

．
（II）设AB₁∩A₁B=O，取C₁D₁中点F，连接OE、EB、B₁F．根据三角形中位线定理，得EF∥C₁D且EF=

1

2

C₁D，平行四边形AB₁C₁D中，有B₁O∥C₁D且B₁O=

1

2

C₁D，
∴EF∥B₁O且EF=B₁O，四边形B₁OEF为平行四边形，B₁F∥OE，又B₁F?平面A₁BE，OE?平面A₁BE，
∴B₁F∥平面A₁BE，
即存在C₁D₁中点F，使B₁F∥平面A₁BE．

点评：本题考查了异面直线所成的角，考查线面平行的判定及空间想象能力、推理论证能力．另外本题也可利用空间向量法求解．