Question

【题目】平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心,以3为半径的圆与以F2为圆心,以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆E：1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx+m交椭圆E于A，B两点．射线PO交椭圆E于点Q．

（i）求的值，

（ii）求△ABQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）1（2）（i）||＝2，（ii）18

【解析】

(1)由MF1+MF2＝2a＝3+1＝4以及,解方程组可得,由此可得椭圆C的方程;

(2)(i) 设P（x0，y0），||＝λ，可得Q（﹣λx0，﹣λy0）,将其代入椭圆的方程可得结果;

(ii) 设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y＝kx+m代入椭圆E的方程,利用韦达定理可得|x1﹣x2|，利用S|m||x1﹣x2|可得 ,根据两个判别式大于0,可得,再利用二次函数的单调性可得结果.

（1）由题意可知，MF1+MF2＝2a＝3+1＝4，可得a＝2，

又，a2﹣c2＝b2，

可得c＝1，b，即有椭圆C的方程为1；

（2）由（1）知椭圆E的方程为1，

（i）设P（x0，y0），||＝λ，由题意可知，

Q（﹣λx0，﹣λy0），由于1，

又1，即（）＝1，

所以λ＝2，即||＝2；

（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y＝kx+m代入椭圆E的方程，可得

（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48＝0，由△＞0，可得m2＜12+16k2，①

则有x1+x2，x1x2，

所以|x1﹣x2|，

由直线y＝kx+m与y轴交于（0，m），

则△AOB的面积为S|m||x1﹣x2||m|

＝2，设t，则S＝2，

将直线y＝kx+m代入椭圆C的方程，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，

由△≥0可得m2≤3+4k2，②

由①②可得0＜t≤1，则S＝2在（0，1]递增，即有t＝1取得最大值，

即有S≤6，即m2＝3+4k2时,取得最大值6，

由（i）知，△ABQ的面积为3S，

即△ABQ面积的最大值为18．