Question

已知直线l过点P（2，3），并与x，y轴正半轴交于A，B二点．
（1）当△AOB面积为

27

2

时，求直线l的方程．
（2）求△AOB面积的最小值，并写出这时的直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）用截距式设出直线方程，利用线l过点P（2，3），及与坐标轴围成的三角形面积值，求出在坐标轴上的截距，从而得到所求的直线方程．
（2）把点P的坐标代入直线的截距式方程，使用基本不等式求三角形面积最小时截距的值，从而求出直线方程．

解答：解：（1）设直线方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）
由题意得

1

2

ab=

27

2

，

2

a

+

3

b

=1，解得

a=3 b=9

或

a=6 b= 9 2

所以所求直线方程式3x+y-9=0或3x+4y-18=0．

（2）∵1=

2

a

+

3

b

≥2

6 ab

，
所以ab≥24，S≥12当且仅当

2

a

=

3

b

=

1

2

时取等号，
所以此时直线方程为3x+2y-12=0．

点评：本题考查直线方程的截距式，用待定系数法求出待定系数，利用基本不等式求最值，注意检验等号成立的条件．