Question

13．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos$\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$，cos²$\frac{x}{4}$）．记f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$，在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 首先利用三角等式结合正弦定理求出B，由此得到A的范围，再由向量的数量积求出f（x），然后利用倍角公式等化简，求出值域．

解答 解：因为（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC．
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC．
∴2sinAcosB=sin（B+C）．
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0．
∴cosB=$\frac{1}{2}$，则B=$\frac{π}{3}$，∴0＜A＜$\frac{2π}{3}$．
∴$\frac{π}{6}$＜$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，$\frac{1}{2}$＜sin（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$）＜1．
又∵f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cos$\frac{x}{4}$×$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$+cos²$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴f（A）=sin（$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
故函数f（A）的取值范围是（1，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算以及三角函数式的化简、三角函数值域求法；关键是正确求出三角函数的解析式，利用角A的范围求值域．