分析 首先利用三角等式结合正弦定理求出B,由此得到A的范围,再由向量的数量积求出f(x),然后利用倍角公式等化简,求出值域.
解答 解:因为(2a-c)cosB=bcosC,
由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC.
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC.
∴2sinAcosB=sin(B+C).
∵A+B+C=π,
∴sin(B+C)=sinA,且sinA≠0.
∴cosB=$\frac{1}{2}$,则B=$\frac{π}{3}$,∴0<A<$\frac{2π}{3}$.
∴$\frac{π}{6}$<$\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$<$\frac{π}{2}$,$\frac{1}{2}$<sin($\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$)<1.
又∵f(x)=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cos$\frac{x}{4}$×$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{4}$+cos2$\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$=sin($\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$,
∴f(A)=sin($\frac{A}{2}$+$\frac{π}{6}$)+$\frac{1}{2}$.
故函数f(A)的取值范围是(1,$\frac{3}{2}$).
点评 本题考查了平面向量的数量积运算以及三角函数式的化简、三角函数值域求法;关键是正确求出三角函数的解析式,利用角A的范围求值域.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$ | B. | $\frac{1}{2}\overrightarrow a+\overrightarrow b$ | C. | $\overrightarrow a+\frac{1}{3}$$\overrightarrow b$ | D. | $\overrightarrow a+\frac{1}{2}\overrightarrow b$ |
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A. | 2015 | B. | 2016 | C. | 2017 | D. | 2018 |
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