Question

已知扇形AOB的半径等于1，∠AOB=120°，P是圆弧

AB

上的一点．
（1）若∠AOP=30°，求

OP

•

AB

的值．
（2）若

OP

=λ

OA

+μ

OB

，①求λ，μ满足的条件；②求λ²+μ²的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）由题意确定出∠BOP为直角，即OP与OB垂直，得到数量积为0，原式变形后，利用平面向量数量积运算法则计算即可得到结果；
（2）①利用余弦定理列出关系式，利用平面向量的数量积运算法则及特殊角的三角函数值化简，整理即可得到λ，μ满足的条件；②利用基本不等式求出λ²+μ²的取值范围即可．

解答： 解：（1）∵∠AOP=30°，∠AOB=120°，
∴∠BOP=∠AOB-∠AOP=120°-30°=90°，
∴

OP

•

OB

=0，
则

OP

•

AB

=

OP

•（

OB

-

OA

）=

OP

•

OB

-

OP

•

OA

=-cos30°=-

3

2

；
（2）①由余弦定理，知

|λ OA |2+|μ OB |2-| OP |2

2|λ OA ||μ OB |

=cos60°=

1

2

，
整理得：

λ2+μ2-1

2λμ

=

1

2

，即λ²+μ²=1+λμ，
则λ，μ满足的条件为

λ≥0，μ≥0 λ2-λμ+μ2=1

；
②由λ≥0，μ≥0，知λ²+μ²=1+λμ≥1（当且仅当λ=0或μ=0时取“=”），
由λ²+μ²=1+λμ≤1+

λ2+μ2

2

，得到λ²+μ²≤2（当且仅当λ=μ时取“=”），
则λ²+μ²的取值范围为[1，2]．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．