Question

4．由-1，0，1，2，3中选三个（不重复）数字组成二次函数y=ax²+bx+c的系数．
（1）开口向上且不过原点的不同抛物线有几条？
（2）与x轴的正、负半轴均有交点的不同抛物线有多少条？
（3）与x轴负半轴至少有一个交点的不同抛物线有多少条？

Answer 1

分析 （1）开口向上且不过原点，则a＞0且c≠0；
（2）与x轴的正、负半轴均有交点，则ac＜0；
（3）分三类，第一类，同（2），第二类，当只与负半轴有1个交点，则c=0时，ab＞0，第三类，当与负半轴有2个交点，则ac＞0，ab＜0

解答 解：（1）开口向上且不过原点的不同抛物线，a＞0且c≠0，共有C₃¹C₃¹C₃¹=27（条）；
（2）与x轴的正、负半轴均有交点，则ac＜0，a、b、c有2C₃¹C₃¹C₁¹=18种选法；
（3）有（2）可知，与x轴的正、负半轴均有交点，有18种，
当只与负半轴有1个交点，则c=0时，ab＞0，则有A₃²=6种选法；
当与负半轴有2个交点，则ac＞0，ab＜0，故b=-1，有b²-4ac＜0，则a，c不存在，
根据分类计数原理可得共有18+6=24种．

点评 本题考查排列组合问题，考查抛物线的性质，属于中档题．