Question

已知函数f（x）=ax³+b，其图象在点P处的切线为l：y=4x-4，点P的横坐标为2（如图）．求直线l、直线x=0、直线y=0以及f（x）的图象在第一象限所围成区域的面积．

Answer 1

分析：先利用导数求出该点的斜率，然后求出切点的坐标，得出函数的解析式，最后根据定积分即可求出直线l、直线x=0、直线y=0以及f（x）的图象在第一象限所围成区域的面积．

解答：解：f′（x）=3ax²．∴f′（2）=12a，
切线的斜率 k=12a，∵切线方程为：y=4x-4，∴切点坐标为了（2，4）
∴12a=4，∴a=

1

3

，且f（2）=ax³+b=4，∴b=

4

3

，
即a=

1

3

 ， b=

4

3

，f(x)=

1

3

x3+

4

3

，
直线l：y=4x-4与x轴的交点的横坐标为1，
所以直线l、直线x=0、直线y=0以及f（x）的图象在第一象限所围成区域的面积为：
S=

∫

1 0

(

1

3

x3+

4

3

)dx+

∫

2 1

[(

1

3

x3+

4

3

)-(4x-4)]dx
=(

1

12

x4+

4

3

x)

|

1 0

+(

1

12

x4+

16

3

x-2x2)

|

2 1

=

1

12

+

4

3

+

1

12

×24+

16

3

×2-2×2²-（

1

12

+

16

3

-2）=2．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了定积分，属于中档题．