Question

15．如图，在四边形ABCD中，BC=6，AD=CD=4，∠A+∠C=π，记△BCD，△ABD的面积分别为S₁，S₂，求S₁-S₂的最大值．

Answer 1

分析 在△ABD，△BCD中，利用余弦定理表示BD，可得AB，即可求S₁-S₂的最大值．

解答 解：依题意可知，∠A+∠C=π，即∠A=π-∠C，设AB=x，则：
在△ABD中，由余弦定理得：BD²=x²+4²-2×x×4cosA=x²+16-8xcosA，
在△BCD中，由余弦定理得：BD²=6²+4²-2×6×4cosC=52-48cosC=52+48cosA，
由x²+16-8xcosA=52+48cosA，
∴x=6-8cosA，
∴S₁-S₂=$\frac{1}{2}•4•6$sinC-$\frac{1}{2}$x•4sinA=16sinAcosA=8sin2A，
∴S₁-S₂的最大值是8．

点评 本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．