Question

已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：
（1） 对任意的，总有；（2）；（3） 若，，且，则有成立，则称为“友谊函数”，请解答下列各题：
（1）若已知为“友谊函数”，求的值；
（2）函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由.
（3）已知为“友谊函数”，假定存在，使得且， 求证：.

Answer 1

（1）（2）是友谊函数（3）见解析.

试题分析：（1）利用赋值法由得，再由得，所以（2）分别验证（1）由指数函数的性质在区间上的最小值为0，（2）直接带入验证易得（3）利用做差法直接比较  （3） 先利用单调性的定义证明抽象函数的单调性，然后再证明
取得， 又由，
得 
（2）显然在上满足（1） ；（2）.（3）若，，且，则有
故满足条件（1）、（2）、（3），所以为友谊函数.
（3）由 （3）知任给其中，且有，不妨设

所以：.
下面证明：(i)若，则有或
若，则，这与矛盾；
（2）若，则，这与矛盾；   
综上所述：