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    已知椭圆：上一点及其焦点满足

    ⑴求椭圆的标准方程。
    ⑵如图，过焦点F2作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD的中点分别为M，N。
    ①线段MN是否恒过一个定点？如果经过定点，试求出它的坐标，如果不经过定点，试说明理由；
    ②求分别以AB，CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程。
    ，其轨迹是过定点的圆，MN恒过定点
    解：⑴ ………………………3分
    ⑵①设直线AB的方程为：并整理得：

    {007}设，则有：

    所以点            …………3分
    ，∴将t换成，即得：   …………5分
    由两点式得直线MN的方程为

    当y=0时，所以直线MN恒过定点。          …………7分
    ②以弦AB为直径的圆M的方程为：
    ①…………9分
    又将t换成，即得以弦CD为直径的圆N的方程为：
    ②…………10分
    ①—②得两圆公共弦所在直线方程为：③
    又直线MN的方程为：④…………12分
    联解③④，消去，得两圆公共弦中点的轨迹方程为：
    。
    其轨迹是过定点的圆。…………13分
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    (本题满分12分)已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.
    （Ⅰ）求椭圆W的方程；
    （Ⅱ）求证： ()；

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    设中心在原点的椭圆离心率为e，左、右两焦点分别为F1、F2，抛物线以F2为焦点，点P为抛物线和椭圆的一个交点，若PF2与x轴成45°，则e的值为    ▲    ．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为1．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    （本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）
    设复数与复平面上点对应.
    （1）设复数满足条件（其中，常数），当为奇数时，动点的轨迹为；当为偶数时，动点的轨迹为，且两条曲线都经过点，求轨迹与的方程；
    （2）在（1）的条件下，轨迹上存在点，使点与点的最小距离不小于，求实数的取值范围.

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    设，分别为椭圆的左右焦点，过的直线与椭圆相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为。
    （Ⅰ）求椭圆的焦距；
    （Ⅱ）如果,求椭圆的方程。

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    如下图，椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，A、B是顶点，F是左焦点；当BF⊥AB时，此类椭圆称为 “黄金椭圆”，其离心率为。类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e=         。

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    10．已知分别是椭圆的上、下顶点和右焦点，直线与椭圆的右准线交于点，若直线∥轴，则该椭圆的离心率=    ▲   .

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    若椭圆上存在一点M，它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍，则椭圆离心率的最小值为       .

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