Question

16．已知$f（x）=cosx+cos（\frac{π}{2}-x）-\sqrt{2}$cosxsin（2π-x），若f（x）=$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，0≤x≤π，则x的值为$\frac{7π}{12}$．

Answer 1

分析 由已知及三角函数中的恒等变换应用化简可得：f（x）=cosx+sinx+$\sqrt{2}$sinxcosx=$\frac{\sqrt{2}}{4}$①，设t=sinx+cosx，则t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，两边平方整理可得：sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，把①化为：t+$\sqrt{2}$$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，整理可解得t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，既有sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，由$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$可得x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{6}$，从而可解得x的值．

解答 解：∵$f（x）=cosx+cos（\frac{π}{2}-x）-\sqrt{2}$cosxsin（2π-x）=cosx+sinx+$\sqrt{2}$sinxcosx=$\frac{\sqrt{2}}{4}$①，
设t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），则t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，两边平方整理可得：sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
故①化为：t+$\sqrt{2}$$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，整理可得：2$\sqrt{2}$t²+4t-3$\sqrt{2}$=0，可解得：t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$或-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（舍去），
∵t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得：sin（x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
∵0≤x≤π，$\frac{π}{4}$≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{6}$，解得：x=$\frac{7π}{12}$．
故答案为：$\frac{7π}{12}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．