Question

设A（-2，0），B（2，0），M为平面上任一点，若|MA|+|MB|为定值，且cosAMB的最小值为-

1

3

．
（1）求M点轨迹C的方程；
（2）过点N（3，0）的直线l与轨迹C及单位圆x²+y²=1自右向左依次交于点P、Q、R、S，若|PQ|=|RS|，则这样的直线l共有几条？请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）设M（x，y），设|MA|+|MB|=2a（a＞0）．由题设条件知cosAMB═

(|MA|+|MB|)2-2|MA||MB|-16

2|MA||MB|

=

4a2-16

2|MA||MB|

-1≥

4a2-16

2a2

-1=-

1

3

，解得a=

6

．由此可知曲线C的方程是

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）设直线l的方程是y=k（x-3）．当k=0时，l的方程是y=0．当k≠0时，由

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-3)

，得（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0．设P（x₁，y₁），S（x₂，y₂），由根与第数的关系可知此时l不存在，综上，存在一条直线l：y=0满足条件．

解答：解：（1）设M（x，y），
∵在△AMB中，AB=4，|MA|+|MB|是定值；
可设|MA|+|MB|=2a（a＞0）．
∴cosAMB═

(|MA|+|MB|)2-2|MA||MB|-16

2|MA||MB|

=

4a2-16

2|MA||MB|

-1．（3分）
而|MA|+|MB|≥2

|MA|•|MB|

，
∴|MA|•|MB|≤a²．
∴

4a2-16

2|MA||MB|

-1≥

4a2-16

2a2

-1
．∵cosAMB最小值为-

1

3

，
∴-1=-

1

3

．∴a=

6

．（6分）
∴|MA|+|MB|=2

6

＞|AB|．
∴M点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且a=

6

，c=2．
∴b²=a²-c²=2．∴曲线C的方程是

x2

6

+

y2

2

=1．（8分）
（2）设直线l的方程是y=k（x-3）．
1°当k=0时，显然有|PQ|=|RS|；此时l的方程是y=0．
2°当k≠0时，∵|PQ|=|RS|，∴PS与RQ的中点重合，设中点为G，则OG⊥PS．
由

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-3)

，
得（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0．（11分）
设P（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

18k2

1+3k2

，y₁+y₂=k（x₁-3）+k（x₂-3）=

-6k

1+3k2

．
∴G（

9k2

1+3k2

，

-3k

1+3k2

）．
∴

-3k 1+3k2

9k2 1+3k2

×k=-1无解，此时l不存在，
综上，存在一条直线l：y=0满足条件．（16分）

点评：本题考查圆锥曲线知识的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．