Question

如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点。
（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；
（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由。

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE//PC， 又因为DE平面BCP， 所以DE//平面BCP。 （Ⅱ）证明：因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点， 所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF， 所以四边形DEFG为平行四边形， 又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG， 所以四边形DEFG为矩形。
（Ⅲ）解：存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG， 设Q为EG的中点，由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG， 分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。 与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形， 其对角线点为EG的中点Q，且QM=QN=EG， 所以Q为满足条件的点。