Question

已知M=

3 -2 2 -2

，α=

-1 4

，试计算：M¹⁰α
选修4-4　参数方程与极坐标
过点P（-3，0）且倾斜角为30°直线和曲线

x=t+ 1 t y=t- 1 t

 (t为参数)相交于A、B两点．求线段AB的长．

Answer 1

分析：（1）先根据特征多项式建立方程求出特征值，然后分别求出特征值所对应的一个特征向量，将向量

a

用两特征向量线性表示，最后利用矩阵与向量乘的意义进行求解；
（2）写出直线的参数方程，代入曲线方程得到关于s 的一元二次方程，利用根与系数的关系，代入弦长公式求得 AB的长．

解答：解：（1）矩阵M的特征多项式为：f（λ）=λ²-λ-2=0，λ₁=-1，λ₂=2．
λ₁=-1对应的一个特征向量为：

α1

=

1 2

，λ₂=2对应的一个特征向量为：

α2

=

2 1

．（4分）
设a=m

a1

+n

a2

，即

.

-1   4

.

=m

.

1   2

.

+n

.

2   1

.

，∴

m+2n=-1 2m+n=4

解得

m=3 n=-2

．（5分）
M10α=3(λ1)10

α1

+(-2)(λ2)10

α2

=3(-1)10

.

1   2

.

+（-2）10

.

2   1

.

=

.

-4093   -2042

.

或

3-212 6-211

．
（2）直线的参数方程为

x = -3 +  3 2 s y =  1 2 s

（s 为参数），曲线

x=t+ 1 t y=t- 1 t

可以化为 x²-y²=4．
将直线的参数方程代入上式，得 s2-6

3

+ 10 = 0．
设A、B对应的参数分别为 s₁，s₂，∴s1+  s2= 6 

3

，s₁•s₂=10．
∴AB=|s₁-s₂|=

(s1- s2)2-4s1s2

=2

17

．

点评：本题主要考查了特征值的应用，一元二次方程根与系数的关系，弦长公式的应用，利用 AB=|s₁-s₂|=

(s1- s2)2-4s1s2

是解题的关键，属于基础题．