Question

已知函数f（x）=2x（e^x-1）-x²（x∈R）．
（1）求证：函数f（x）有且只有两个零点；
（2）已知函数y=g（x）的图象与函数h（x）=-f（-x）-x²+x的图象关于直线x=l对称．证明：当x＞l时，h（x）＞g（x）；
（3）如果一条平行x轴的直线与函数y=h（x）的图象相交于不同的两点A和B，试判断线段AB的中点C是否属于集合M={（x，y）||x|+|y|≤1}，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）显然0是函数f（x）的零点，令g（x）=2（e^x-1）-x，证明函数g（x）在（ln，+∞）上有一个零点即可；
（2）根据函数y=g（x）的图象与函数h（x）=-f（-x）-x²+x的图象关于直线x=l对称，可得函数y=g（x）的解析式，构造F（x）=h（x）-g（x），确定单调性，即可得到结论；
（3）h′（x）=（1-x）e^-x，确定函数的单调性，可得函数在x=1处取得极大值，进而判断（x₁-1）（x₂-1）＜0，不妨设x₁＜1，x₂＞1，利用h（x₂）＞g（x₂）=h（2-x₂），即可得到结论．
解答：（1）证明：显然0是函数f（x）的零点，令g（x）=2（e^x-1）-x，则g′（x）=2e^x-1
令g′（x）=0，则x=ln，∴函数在（-∞，ln）单调递减，在（ln，+∞）上单调递增
∵0是函数g（x）的零点，0∈（-∞，ln），g（ln）＜0
∴函数g（x）在（ln，+∞）上有一个零点
∴函数f（x）有且只有两个零点；
（2）证明：函数y=g（x）上取点（x，y），则关于直线x=l对称的点为（2-x，y），
∵函数h（x）=-f（-x）-x²+x=xe^-x，∴y=e^2-x，
令F（x）=h（x）-g（x）=xe^-x-e^2-x，则F′（x）=e^-x-xe^-x-e^2-x，
∴x＞1时，F′（x）＞0，∴F（x）＞F（1）=0，∴当x＞l时，h（x）＞g（x）；
（3）解：不妨设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x，y），
h′（x）=（1-x）e^-x，当h′（x）＞0，即x＞1时，h（x）为增函数；当h′（x）＜0，即x＜1时，h（x）为减函数，
∴函数在x=1处取得极大值
①若（x₁-1）（x₂-1）=0，由h（x₁）=h（x₂），得x₁=x₂，与x₁≠x₂矛盾；
②若（x₁-1）（x₂-1）＞0，由h（x₁）=h（x₂），得x₁=x₂，与x₁≠x₂矛盾；
根据①②可得（x₁-1）（x₂-1）＜0，不妨设x₁＜1，x₂＞1
由（2）可知h（x₂）＞g（x₂）=h（2-x₂），∴h（x₁）=h（x₂）＞g（x₂）=h（2-x₂），
∵x₂＞1，∴2-x₂＜1
∵x₁＜1，h（x）在（-∞，1）上为增函数
∴x₁＞2-x₂，∴x₁+x₂＞2，∴x＞1
∴线段AB的中点C不属于集合M．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的零点，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度大．