Question

【题目】如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率 ，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．

（1）求该椭圆的标准方程；
（2）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知点A（﹣c，2）在椭圆上，则 ，即 ①

∵离心率 ，∴ ②

联立①②得： ，所以b2=8．

把b2=8代入②得，a2=16．

∴椭圆的标准方程为 ；

（2）解：设Q（t，0），圆Q的半径为r，则圆Q的方程为（x﹣t）2+y2=r2，

不妨取P为第一象限的点，因为PQ⊥P'Q，则P（ ）（t＞0）．

联立 ，得x2﹣4tx+2t2+16﹣2r2=0．

由△=（﹣4t）2﹣4（2t2+16﹣2r2）=0，得t2+r2=8

又P（ ）在椭圆上，所以 ．

整理得， ．

代入t2+r2=8，得 ．

解得： ．所以 ， ．

此时 ．

满足椭圆上的其余点均在圆Q外．

由对称性可知，当t＜0时，t=﹣ ， ．

故所求圆Q的标准方程为

【解析】（1）利用点A（﹣c，2）在椭圆上，结合椭圆的离心率，求出几何量，即可求得椭圆的标准方程；（2）设出圆Q的圆心坐标及半径，由PQ⊥P'Q得到P的坐标，写出圆的方程后和椭圆联立，化为关于x的二次方程后由判别式等于0得到关于t与r的方程，把P点坐标代入椭圆方程得到关于t与r的另一方程，联立可求出t与r的值，经验证满足椭圆上的其余点均在圆Q外，结合对称性即可求得圆Q的标准方程．