Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任何正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，且在点P_n（n，S_n）处的切线的斜率为K_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若bn=2Knan，，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据题中已知条件，先求出数列{a_n}的前n项和S_n的表达式，进而求得数列{a_n}的通项公式；
（2）根据题中条件求出K_n的表达式，结合前面求得的数列{a_n}的通项公式，即可求得数列{b_n}的通项公式，进而可以求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，
∴S_n=n²+2n（n∈N^*）．…（3分）
当n=1时，a₁=S₁=1+2=3；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1   ①
当n=1时，a₁=3也满足①式．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1．…（6分）
（2）由f（x）=x²+2x求导可得f′（x）=2x+2．
∵过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为K_n，
∴K_n=2n+2．…（8分）
又∵bn=2Kn•an，
∴b_n=2²ⁿ⁺²（2n+1）=4（2n+1）•4ⁿ，
∴T_n=4×3×4¹+4×5×4²+4×7×4³+…+4（2n+1）•4ⁿ ①
由①×4得：∴4T_n=4×3×4²+4×5×4³+4×7×4⁴+…+4（2n+1）•4ⁿ⁺¹ ②
①-②得-3T_n=4×（3×4+2×4²+2×4³+…+2×4ⁿ-（2n+1）4ⁿ⁺¹）
=4×（12+2×

16×(1-4n-1)

1-4

-（2n+1）4ⁿ⁺¹）=

4

3

-

1

3

×(6n+1)4n+1
所以 T_n=

1

9

×(6n+1)44n+1-

4

9

…（12分）

点评：本题主要考查了数列与函数的综合应用，考查了学生的计算能力和对数列与函数的综合掌握，是各地高考的热点，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．