Question

已知函数f（t）=at²-

b

t+

1

4a

（t∈R，a＜0）的最大值为正实数，集合A={x|

x-a

x

＜0}，集合B={x|x²＜b²}．
（1）求A和B；
（2）定义A与B的差集：A-B={x|x∈A且x∉B}．设a，b，x均为整数，且x∈A．P（E）为x取自A-B的概率，P（F）为x取自A∩B的概率，写出a与b的二组值，使P（E）=

2

3

，P（F）=

1

3

．
（3）若函数f（t）中，a，b是（2）中a较大的一组，试写出f（t）在区间[n-

2

8

，n]上的最大值函数g（n）的表达式．

Answer 1

分析：（1）先函数f（t）进行配方，根据函数f（t）的最大值为正实数可确定b的范围，然后分别求出集合A和集合B即可；
（2）要使P(E)=

2

3

，P（F）=

1

3

．分为二种情形，第一种A中有3个元素，A-B中有2个元素，A∩B中有1个元素，求出a，b即可，第二种，A中有6个元素，A-B中有4个元素，A∩B中有2个元素，可求出a，b的值．
（3）根据（2）先求出函数f（t）的解析式，讨论对称轴与区间[n-

2

8

，n]的位置关系，然后分别求出函数的最大值，最后用分段函数表示即可．

解答：解：（1）∵f(t)=at2-

b

t+

1

4a

(t∈R)，
配方得f(t)=a(t-

b

2a

)2+

1-b

4b

，
由a＜0得最大值

1-b

4a

＞0⇒b＞1．（3分）
∴A={x|a＜x＜0}，B={x|-b＜x＜b}．（6分）
（2）要使P(E)=

2

3

，P（F）=

1

3

．可以使①A中有3个元素，
A-B中有2个元素，A∩B中有1个元素．则a=-4，b=2．（9分）
②A中有6个元素，A-B中有4个元素，A∩B中有2个元素．则A=-7，B=3（12分）
（3）由（2）知f(t)=-4t2-

2

t-

1

16

(t∈[n-

2

8

，n])（13分）

g（n）=

-4n2- 2 n- 1 16 ，n＜- 2 8 1 16    - 2 8 ≤n≤ 0 -4n2+ 1 16    n＞0

（18分）

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及分段函数和古典概型及其概率计算公式，属于基础题．