Question

14．已知棱长为1的正方体AC₁，E、F分别为B₁C₁和C₁D₁的中点．
（1）求证：E、F、B、D共面；
（2）求证：BE、DF、CC₁三线共点；
（3）求棱台C₁EF-CBD的体积．

Answer 1

分析 （1）先证BD∥EF，通过EF，BD两直线共面，得E、F、D、B共面；
（2）设BE∩DF=O，证明O∈CC₁，即可证明BE、DF、CC₁三线共点；
（3）利用两个锥体体积的差求棱台C₁EF-CBD的体积．

解答 （1）证明：∵EF∥D₁B₁，BD∥D₁B₁，∴BD∥EF，
∴EF，BD两直线共面，
∴E、F、D、B共面；
（2）证明：设BE∩DF=O，
则O∈平面DC₁，O∈平面BC₁，
∵平面DC₁∩平面BC₁=CC₁，
∴O∈CC₁，
∴BE、DF、CC₁三线共点；
（3）解：棱台C₁EF-CBD的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{5}{8}$．

点评 本题考查求棱台C₁EF-CBD的体积，考查平面基本性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．