Question

已知函数f（x）=2sinωx•（其中ω＞o），且函数f（x）的最小正周期为π
（I）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．求函数g（x）的单调区间．

Answer 1

解：（I）∵2sinωxcosωx=sin2ωx，cos²ωx=（1+cos2ωx）
∴f（x）=sin2ωx+（1+cos2ωx）-
=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）
∵函数f（x）的最小正周期为π
∴=π，解之得ω=1
（II）由（I），得f（x）=2sin（2x+）
将函数y=f（x）的图象向右平移单位长度，得到y=f（x+）的图象；
再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变）得到y=f（2x+）的图象
∴函数y=g（x）的解析式为y=2sin[2（2x+）+]，可得g（x）=2sin（4x+）
令-+2kπ≤4x+≤+2kπ，k∈Z，解之得-≤x≤，k∈Z
∴函数g（x）的单调增区间是[-，]，k∈Z
同理，令+2kπ≤4x+≤+2kπ（k∈Z ），得g（x）的单调减区间是[，]，k∈Z
综上所述，可得g（x）的单调减区间是[，]，单调增区间是[-，]，k∈Z．
分析：（I）利用二倍角的三角函数公式结合辅助角公式进行化简，得f（x）=2sin（2ωx+）．再利用三角函数的周期公式即可解出ω的值．
（II）根据函数图象平移的规律，可得函数y=g（x）的解析式为g（x）=2sin（4x+），再由正弦函数的单调区间的结论解关于x的不等式，即可求出函数g（x）的单调区间．
点评：本题给出三角函数表达式，求函数的图象平移后所得图象对应函数的单调区间，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识点，属于中档题．