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如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥BD,AD=BD=a,E是CC1的中点,A1D⊥BE.
(Ⅰ)求证:A1D⊥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角B-DE-C的大小;
(Ⅲ)求点B到平面A1DE的距离.

【答案】分析:(Ⅰ)由直平行六面体ABCD-A1B1C1D1,可知AA1⊥面ABCD,根据A1D⊥BD,A1D⊥BE,可证A1D⊥平面BDE.
(Ⅱ)过M作MN⊥DE于N,连BN.易证BNM就是二面角B-DE-C的平面角,在Rt△BMN中,可求二面角B-DE-C的大小;
(Ⅲ)易证BN⊥平面A1DE,从而BN的长就是点B到平面A1DE的距离,故可求点B到平面A1DE的距离.
解答:(Ⅰ)证明:∵直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥面ABCD
又∵AD⊥BD,∴A1D⊥BD.…(2分)
又A1D⊥BE,∴A1D⊥平面BDE.…(3分)
(Ⅱ)解:连B1C.∵A1B1∥CD,∴B1C∥A1D.∵A1D⊥BE,∴B1C⊥BE,
∴∠BB1C=∠CBE,∴Rt△BB1C∽Rt△CBE,
.∵,∴,∴.…(5分)
取CD中点M,连BM.∵,∴
过M作MN⊥DE于N,连BN.∵平面CD1⊥平面BD,BM⊥CD,∴BM⊥平面CD1
∴BN⊥DE,∴∠BNM就是二面角B-DE-C的平面角.…(7分)∵
.在Rt△BMN中,,∴
即二面角B-DE-C等于.…(9分)
(Ⅲ)解:∵A1D⊥平面BDE,BN?平面BDE,∴A1D⊥BN.…(10分)
又∵BN⊥DE,∴BN⊥平面A1DE,即BN的长就是点B到平面A1DE的距离.…(11分)
,∴
即点B到平面A1DE的距离为.…(12分)
点评:本题以直平行六面体为载体,考查线面垂直,考查面面角,考查点面距离,关键是利用线面垂直的判定定理,正确表示面面角,线面距离的线段.
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(II)求二面角B―DE―C的大小;

(III)求点B到平面A1DE的距离    

 

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如图,已知直平行六面体中,

    (1)求证:

(2)求二面角的大小

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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