Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）在函数f（x）=2^x-1的图象上，数列{b_n}满足b_n=log₂a_n-12（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，当T_n最小时，求n的值；
（3）求不等式T_n＜b_n的解集．

Answer 1

分析：（1）把点（n，S_n）代入函数f（x）=2^x-1得到数列的前n项和，然后由a_n=S_n-S_n-1求解n≥2使得数列通项，最后验证n=1时是否成立；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=log₂a_n-12，得到数列{b_n}为等差数列，求出首项和公差，则其前n项和得到表示，利用二次函数求使其前n项和取最小值时的n值；
（3）直接把T_n和b_n的代数式代入T_n＜b_n化为一元二次不等式求解．

解答：（1）依题意：S_n=2ⁿ-1（n∈N^*），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1．
当n=1，S₁=a₁=1，∴a_n=2^n-1（n∈N^*）；
（2）因为b_n=log₂a_n-12=n-13，
所以b₁=-12，d=b_n-b_n-1=（n-13）-（n-1-13）=1．
所以数列{b_n}是以-12为首项，以1为公差的等差数列．
∴T_n=-12n+

n(n-1)

2

=

n2-25n

2

=

1

2

（n-

25

2

）²-

625

8

．
故当n=12或13时，数列{b_n}的前n项和最小；
（3）由T_n-b_n=

n2-25n

2

-（n-13）=

n2-27n+26

2

=

(n-1)(n-26)

2

＜0，
∴1＜n＜26，且n∈N^*，
所以不等式的解集为{n|1＜n＜26，n∈N^*}．

点评：本题考查了等差数列的通项公式的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了等差数列的前n项和公式及一元二次不等式的解法，是中档题．