Question

如图，在棱长为1的正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）求直线B₁D与平面A₁BC₁所成的角；
（2）求点A到面A₁BC₁的距离．

Answer 1

分析：（1）分别以AB，AD，AA₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线B₁D与平面A₁BC₁所成的角．
（2）由

AA1

=（0，0，1），平面A₁BC₁的法向量

n

=（1，-1，1），利用向量法能求出点A到面A₁BC₁的距离．

解答：解：分别以AB，AD，AA₁为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
∵正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD棱长为1，
∴B₁（1，0，1），D（0，1，0），

B1D

=（-1，1，-1），
∵A₁（0，0，1），B（1，0，0），C₁（1，1，1），
∴

A1B

=（1，0，-1），

A1C1

=（1，1，0），
设平面A₁BC₁的法向量

n

=（x，y，z），则

n

•

A1B

=0，

n

•

A1C1

=0，
∴

x-z=0 x+y=0

，解得

n

=（1，-1，1），
设直线B₁D与平面A₁BC₁所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜

n

，

B1D

＞|=|

-1-1-1

3 • 3

|=1，
∴直线B₁D与平面A₁BC₁所成的角为90°．
（2）∵

AA1

=（0，0，1），平面A₁BC₁的法向量

n

=（1，-1，1），
∴点A到面A₁BC₁的距离d=

| AA1 • n |

| n |

=

|0+0+1|

3

=

3

3

．

点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．