Question

【题目】在创建“全国文明卫生城”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：

组别	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
频数	2	15	20	25	24	10	4

（I）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，198），μ近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P（37＜Z≤79）；

（II）在（I）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费；

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

赠送话费的金额（单元：元）	20	40
概率

现有市民甲参加此次问卷调查，记ξ（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求ξ的分布列与数学期望．附：参考数据与公式：14．

若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；P（μ2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）0.8185．（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）由题意求出Ez＝65，从而μ＝65，进而P（51＜Z≤79）＝0.6826，P（37＜Z≤93）＝0.9544．由此能求出P（37＜Z≤79）．

（Ⅱ）由题意知P（Z＜μ）＝P（Z≥μ），获赠话费ξ的可能取值为20，40，60，80．分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和Eξ．

解：（Ⅰ）由题意得Ez＝35×0.025+45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.24+5×0.1+95×0.04＝65．

∴μ＝65，∵σ14，

∴P（65﹣14＜Z≤65+14）＝P（51＜Z≤79）＝0.6826，

P（65﹣2×14＜Z≤65+2×14）＝P（37＜Z≤93）＝0.9544，

∴P（31＜Z≤51）[P（37＜Z≤93）﹣P（51＜Z≤79）]＝0.1359

综上P（37＜Z≤79）＝P（37＜Z≤51）+P（51＜Z≤79）≈0.1359+0.6826＝0.8185．

（Ⅱ）由题意知P（Z＜μ）＝P（Z≥μ），

获赠话费ξ的可能取值为20，40，60，80．

P（ξ＝20）；

P（ξ＝40）；

P（ξ＝60）；

P（ξ＝80）；

ξ 的分布列为：

ξ	20	40	60	80
P

∴Eξ＝2040608037.5．