Question

4．设函数f（x）=|ax-x²|+2b（a，b∈R）．
（1）当a=-2，b=-$\frac{15}{2}$时，解方程f（2^x）=0；
（2）当b=0时，若不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若a为常数，且函数f（x）在区间[0，2]上存在零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解：（1）原方程即为：|2^x_（2^x+2）|=15，解得2^x即可，
（2）不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，及（f（x）-2x）_max≤在x∈[0，2]上恒成立即可‘
（3）函数f（x）在[0，2]上存在零点，即方程x|a-x|=-2b在[0，2]上有解，分类求出设h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax\\;\\;\\;（x≥a）}\\{-{x}^{2}+ax\\;\\;（x＜a）}\end{array}\right.$的值域即可．

解答 解：（1）当a=-2，b=-$\frac{15}{2}$时，f（x）=|x²+2x|-15，所以方程即为：|2^x_（2^x+2）|=15
解得：2^x₌3或2^x=-5（舍），所以x=${log}_{2}^{3}$；…（3分）
（2）当b=0时，若不等式：x|a-x|≤2x
在x∈[0，2]上恒成立；
当x=0时，不等式恒成立，则a∈R；…（5分）
当0＜x≤2时，则|a-x|≤2，
在[0，22]上恒成立，即-2≤x-a≤2在（0，2]上恒成立，
因为y=x-a在（0，2]上单调增，y_max=2-a，y_min=-a，则$\left\{\begin{array}{l}{2-a≤2}\\{-a≥-2}\end{array}\right.$，解得：0≤a≤2；
则实数a的取值范围为[0.2]；…（8分）
（3）函数f（x）在[0，2]上存在零点，即方程x|a-x|=-2b在[0，2]上有解；
设h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax\\;\\;\\;（x≥a）}\\{-{x}^{2}+ax\\;\\;（x＜a）}\end{array}\right.$
当a≤0时，则h（x）=x²-ax，x∈[0，2]，且h（x）在[0，2]上单调增，
所以h（x）_min=h（0）=0，h（x）_max=h（2）=4-2a，
则当$\frac{{a}^{2}}{4}$0≤-2b≤4-2a时，原方程有解，则a-2≤b≤0；…（10分）
当a＞0时，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax\\;\\;\\;（x≥a）}\\{-{x}^{2}+ax\\;\\;（x＜a）}\end{array}\right.$，
h（x）在[0，$\frac{a}{2}$]上单调增，在[$\frac{a}{2}，a$]上单调减，在[a，+∞）上单调增；
①当$\frac{a}{2}≥2$，即a≥4时，h（x）_min=h（0）=0，h（x）_max=h（2）=4-2a，
则当则当0≤-2b≤2a-4时，原方程有解，则2-a≤b≤0；
②当$\frac{a}{2}＜2≤a$，即2≤a＜4时，h（x）_min=h（0）=0，h（x）_max=h（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
则当0≤-2b≤$\frac{{a}^{2}}{4}$时，原方程有解，则-$\frac{{a}^{2}}{8}≤b≤0$；
③当0＜a＜2时，h（x）_min=h（0）=0，h（x）_max=max{h（2），h（$\frac{a}{2}$）=max{4-2a，$\frac{{a}^{2}}{4}$}
当$\frac{{a}^{2}}{4}≥4-2a$，即当-4+4$\sqrt{2}$≤a＜2时，h（x）_max=$\frac{{a}^{2}}{4}$
，则当0≤-2b≤$\frac{{a}^{2}}{4}$时，原方程有解，则$-\frac{{a}^{2}}{8}≤b≤0$；
当$\frac{{a}^{2}}{4}＜4-2a$，即则0$＜a＜-4+4\sqrt{2}$时，h（x）_max=4-2a，
则当0≤-2b≤4-2a时，原方程有解，则a-2≤b≤0；…（14分）
综上，当0＜a＜-4+4$\sqrt{2}$时，实数b的取值范围为[a-2，0]；
当-4+4$\sqrt{2}$≤a＜4时，实数b的取值范围为[$-\frac{{a}^{2}}{8}.0$]；
当a≥4时，实数b的取值范围为[2-a，0]；

点评 本题考查了分段函数的值域问题，及分类讨论思想，属于中档题．