Question

11．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁上一点，P是A₁B₁上一点，N是D₁C₁中点，且DM，NP相交于一点Q，求证：
（1）Q，A₁，D₁三点共线；
（2）MP∥DN．

Answer 1

分析 （1）由已知推导出Q是平面DQD₁和平面NQD₁的公共点，平面DQD₁∩平面NQD₁=QD₁，由此利用公理二能证明Q，A₁，D₁三点共线．
（2）由平面ABB₁A₁∥平面DCC₁D₁，MP?平面ABB₁A₁，DN?平面DCC₁D₁，得MP与DN平行或异面，再由DM，NP相交于一点Q，能证明MP∥DN．

解答 证明：（1）∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁上一点，P是A₁B₁上一点，
N是D₁C₁中点，且DM，NP相交于一点Q，
∴Q∈DM，且Q∈NP，
∵DM?平面DQD₁，∴Q∈平面DQD₁，
∵NP?平面NQD₁，∴Q∈平面NQD₁，
∵平面DQD₁∩平面NQD₁=QD₁，
∴由公理二得Q∈QD₁，
∴Q，A₁，D₁三点共线．
（2）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ABB₁A₁∥平面DCC₁D₁，
MP?平面ABB₁A₁，DN?平面DCC₁D₁，
∴MP与DN平行或异面，
∵DM，NP相交于一点Q，∴MP与DN共面，
∴MP∥DN．

点评 本题考查三点共线的证明，考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．