Question

已知

a

+

b

+

c

=

0

，|

a

|=2，|

b

|=3，|

c

|=4，则

a

与

b

之间的夹角＜

a

，

b

＞的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：由

a

+

b

+

c

=

0

，可构造三角形ABC，令向量

AB

=

c

，

BC

=

a

，

CA

=

b

，先求出cos∠BCA，则

a

与

b

之间的夹角＜

a

，

b

＞的余弦值可求．

解答： 解：∵

a

+

b

+

c

=

0

，|

a

|=2，|

b

|=3，|

c

|=4，
∴可以以这三个向量首尾相连建立三角形ABC，
令向量

AB

=

c

，

BC

=

a

，

CA

=

b

，
三角形三边之长为为BC=2，CA=3，AB=4．
则用余弦定理，
cos∠BCA=

BC2+CA2-AB2

2BC•CA

=

4+9-16

12

=-

1

4

但是，注意到向量

BC

和

CA

是首尾相连，
∴这两个向量的夹角是180°-∠BCA，
∴cos＜

a

，

b

＞=

1

4

．
故答案为：

1

4

．

点评：本题考查了数量积表示两个向量的夹角，关键是把问题转化为求解三角形的内角求解，是基础题．