Question

已知点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．
（Ⅰ）若α∈[-π，0]，且|

AC

|=|

BC

|，求角α；
（Ⅱ）若α∈[

π

2

，π]，且

AC

⊥

BC

，求

sin2α

2 sin(α- π 4 )-cos2α

的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由|

AC

|=|

BC

|，可得（cosα-2）²+sin²α=cos²α+（sinα-2）²，化简可得sinα=cosα，结合α∈[-π，0]，可得α的值．
（Ⅱ）由

AB

•

BC

=0，整理求得cosα+sinα、2sinαcosα、sinα-cosα的值，从而求得

sin2α

2 sin(α- π 4 )-cos2α

=

2sinαcosα

(sinα-cosα)[1+(cosα+sinα)]

的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得

AC

=（cosα-2，sinα），

BC

=（cosα，sinα-2），
再由|

AC

|=|

BC

|，可得（cosα-2）²+sin²α=cos²α+（sinα-2）²，化简可得sinα=cosα，
又α∈[-π，0]，故α=-

3π

4

．
（Ⅱ）由

AB

•

BC

=0，整理得cosα+sinα=

1

2

，2sinαcosα=-

3

4

，
由于（cosα-sinα）²=（cosα+sinα）²-4sinαcosα=

7

4

，α∈[

π

2

，π]，可得sinα-cosα=

7

2

．
故

sin2α

2 sin(α- π 4 )-cos2α

=

2sinαcosα

(sinα-cosα)[1+(cosα+sinα)]

=

- 3 4

7 2 ×(1+ 1 2 )

=-

7

7

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．