Question

16．已知函数f（x）=$\frac{lna+lnx}{x}$在[1，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a≤e
• B． 0＜a≤e
• C． a≥e
• D． 0＜a＜$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 先求导，由函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，转化为f′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立问题求解．

解答 解：f′（x）=$\frac{1-lna-lnx}{{x}^{2}}$，
由f'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
即1-lna-lnx≤0在[1，+∞）上恒成立，
∴lnx≥ln$\frac{e}{a}$恒成立，
∴ln$\frac{e}{a}$≤0，即$\frac{e}{a}$≤1，
∴a≥e
故选：C．

点评 本题主要考查用导数法研究函数单调性问题，基本思路是，当函数是增函数时，则f′（x）≥0在D上恒成立；当函数是减函数时，则f′（x）≤0在D上恒成立．