Question

在等比数列{a_n}中，an＞0  (n∈N*)且a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=-30+4log2an(n∈N*)，数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）由a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中项，结合等差数列的性质及通项公式可求q，a₁，从而可求通项
（2）由已知可求b_n，结合等差数列的求和公式及二次函数的性质可求S_n的最小值．

解答：解：（1）由已知得，a22=4，    2(a2q+1)=a2+a2q2，
∵an＞0，   ∴a2=2，    2(2q+1)=2+2q2
∴q=2，a₁=1
∴an=2n-1
（2）∵bn=-30+4log22n-1=4n-34
∴b_n+1-b_n=4，即{b_n}为等差数列，首项b₁=-30，
∴Sn=

n(b1+bn)

2

=2n2-32n，
设f（x）=2x²-32x，其对称轴为x=8，且开口向上，
∴f（x）_min=f（8），即S_n的最小值为S₈=-128．

点评：本题主要考查了等差数列的性质求和公式及等比数列的通项公式的应用．